Arithmetische Zählungen von Bitangenten ebener Quartiken mittels tropischer Geometrie

01.08.2022 bis 01.08.2025

Tropische Geometrie wird besonders erfolgreich in der reellen algebraischen Geometrie angewendet, bzw. beim Studium von Verbindungen zwischen reeller und komplexer Geometrie. Das liegt daran, dass oftmals die tropischen Objekte, die wir untersuchen, dieselben sind, egal, ob wir reell oder komplex tropikalisieren, nur das Lifting Verhalten unterscheidet sich. Dieses Projekt untersucht die tropische Geometrie einer alten und grundlegeneden Fragestellung zu eingebetteten algebraischen Kurven: das Studium ihrer Tangenten. Die Studium von Bitangenten an ebene Quartiken wurde von Pluecker begonnen, der nicht nur die komplexe, sondern auch die reelle Version betrachtete: eine komplexe Quartik hat 28 Bitangenten. Eine relle kann 4, 8, 16 oder 28 haben, je nach ihrer Topologie. Tropikalisierungen von Bitangenten von Quartiken wurden von mehreren Forschern aus verschiedener Perspektive bereits untersucht. Eine tropische Quartik in der Ebene kann unendlich viele Bitangenten haben, aber eine natuerliche Aequivalenzrelation fuehrt zur Unterscheidung von 7 Klassen. Die Zahl der komplexen Lifts der Respraesentanten einer Klasse (mit Multiplizitaet gezaehlt) summiert sich zu 4 fuer jede Klasse, womit wir insgesamt 7x4=28 komplexe Bitangenten erhalten. In diesem Projekt studieren wir das reelle Lifting Verhalten von tropischen Bitangenten von Quartiken. Ausserdem betrachten wir zwei Erweiterungen der Fragestellung, die zu Verbindungen mit der Theorie tropischer Modulraeume und der Theorie tropischer Divisoren fuehrt, und zur Anwendung der tropischen Methode bei der Konstruktion reeller Sextiken mit bestimmten Tangenten.