Explicit minimizing sequences for Bartnik's mass functional

01.10.2017 bis 30.09.2019

Dieses Projekt beschäftigt sich mit der Definition und Berechnung der "Masse" eines schweren Objektes, etwa eines Sterns, einer Galaxie oder eines schwarzen Lochs. Während eine solche Definition in Newtons klassischer Gravitationslehre problemlos möglich ist, hat sie sich in Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie als sehr schwierig herausgestellt. 1968 gelang es Arnowitt--Deser--Misner, einen Massebegriff für "isolierte Objekte" -- d.h. Objekte, die nicht mit anderen Objekten wechselwirken -- zu definieren.

Viele Vorschläge wurden gemacht, u.a. von Hawking. Im Unterschied zur Gesamt-Masse eines isolierten Objekts werden sie quasi-lokale (QL-)Massen genannt. Sie sind mathematisch sehr nützlich -- etwa zum Beweis von "Penrose-artigen" Ungleichungen zwischen physikalischen und geometrischen Merkmalen schwarzer Löcher --, die meisten von ihnen widersprechen aber der physikalischen Intuition: Hawkings QL-Masse ist z.B. fast immer negativ!

1989 definierte Bartnik eine QL-Masse, die alle physikalischen Kriterien erfüllt (nach Christodoulou--Yau). Es ist jedoch nicht bekannt, ob Bartniks Masse für viele Beispiele explizit oder näherungsweise berechnet werden kann. Hierzu gibt es zwei berühmte Vermutungen von Bartnik, die wir untersuchen werden.

Dazu werden wir aufbauend auf Mantoulidis--Schoen, Cabrera Pacheco--Miao explizit Folgen "asymptotisch flacher" Riemannscher 3-Mannigfaltigkeiten mit gewissen subtilen Eigenschaften konstruieren. Diese werden verwendet, um Bartniks Vermutungen sowie die Stabilität der zentralen (verallgemeinerten) Penrose-Ungleichung in geometrisch speziellen Situationen zu untersuchen.