MABP

Mathematische Analyse des Bose Polarons

01.03.2024 bis 28.02.2027

Bei sehr niedriger Temperatur beschreitet ein Gas aus bosonischen Atomen einen Phasenübergang zu einem Bose-Einstein-Kondensat, in welchem eine makroskopische Anzahl von Teilchen ein kollektives Quantenmechanisches verhalten zeigt. Das Einbringen eines weiteren Teilchens (Verunreinigung) in das Kondensat kann viele seiner grundlegenden Eigenschaften offenbaren, daher gibt es zahlreiche Anwendungen solcher gekoppelten Systeme in der Quantentechnik.
Bei einer Temperatur von Null nehmen alle Teilchen eines nicht-wechselwirkenden Bose-Gases den Ein-Teilchen-Grundzustand ein. Bei schwach echselwirkenden Systemen wird dieser Grundzustand modifiziert und einige der Teilchen nehmen Zustände höherer Energie ein. Die Theorie hinter diesen Anregungen geht auf eine wegweisende Arbeit von Bogoliubov aus dem Jahr 1947 zurück, der zeigte, dass Anregungen typischerweise in Paaren auftreten, und diese in Form eines Quantenfeldes beschrieb. Im hier vorgestellten Projekt untersuchen wir Systeme aus vielen Bosonen mit wenigen Verunreinigungen aus mathematischer Sicht. Wir werden die Gültigkeit eines effektiven Modells beweisen, in dem die Verunreinigungen mit dem von Bogoliubov beschriebenen Anregungsfeld interagieren. Ein solcher Beweis wurde vor kurzem im Spezialfall eines dichten, schwach wechselwirkenden, homogenen Kondensats auf einem Torus erbracht. Um physikalisch realistischere Situationen abzudecken, streben wir eine Verallgemeinerung in zwei Richtungen an: Zunächst betrachten wir verdünnte Gase, wie sie typischerweise in experimentellen Bose-Einstein-Kondensaten verwendet werden. Solche Systeme haben die Besonderheit, dass die Wechselwirkungen kurzreichweitig und sehr stark sind. Dies führt zu einer nicht vernachlässigbaren Korrelationsstruktur, die eine Renormierung der Theorie von Bogoliubov erfordert. Außerdem betrachten wir nicht-periodischer Systeme. Für ausgedehnte Systeme lässt sich das System nach einer entsprechenden Analyse der relevanten Raum- und Zeitskalen in guter Näherung auf den Fall konstanter Dichte zurückführen. Die Kombination der Erkenntnisse beider Fragen wird zu einem tieferen Verständnis der Bogoliubov-Näherung führen, die ein wichtiger Modellfall für allgemeinere Quasi-Teilchen-Näherungen in der Physik der kondensierten Materie ist.